모션 소프트웨어›로봇 액추에이터 제어 소프트웨어 개발›로봇 액추에이터 모델링
출제기준 좌표3·3·2·2
3과목 · 모션 소프트웨어

액추에이터 동역학 모델링

로봇 액추에이터 제어 소프트웨어 개발›로봇 액추에이터 모델링
# 모션소프트웨어
01

📌 개요

  • 정특성 모델이 "다 안정된 후"의 관계였다면, 동역학 모델은 전압을 바꾼 직후 속도가 시간에 따라 어떻게 변해 가는지를 미분방정식·전달함수로 표현
  • 제어기 설계(제어기 게인 설정)와 시뮬레이션의 수학적 기초
  • 시험 포인트: 전기·기계 두 방정식의 구성, 전기/기계 시정수 비교, 1차 시스템 응답(시정수에서 63.2%), 마찰 모델
02

📖 핵심 개념

동역학 모델 = 전기 방정식 + 기계 방정식

DC 모터는 전기 회로와 회전체가 결합된 시스템이며, 각각 미분방정식 하나씩으로 표현된다.

① 전기 방정식 (전압 → 전류):

V = R\,i + L\frac{di}{dt} + k_e\,\omega

② 기계 방정식 (토크 → 속도, 회전 운동 법칙):

J\frac{d\omega}{dt} + b\,\omega + \tau_{load} = k_t\, i
  • J: 등가 관성 모멘트, b: 점성 마찰 계수, \tau_{load}: 외부 부하 토크
  • 두 식은 k_t i(토크 발생)와 k_e\omega(역기전력)로 서로 얽혀 있다 — 전기가 기계를 돌리고, 기계 회전이 다시 전기에 되먹임되는 구조

전달함수 — 전압에서 속도까지

두 방정식을 라플라스 변환해 묶으면 전압 입력 → 속도 출력의 전달함수(Transfer Function) 가 나온다 (부하 토크 0 가정):

\frac{\omega(s)}{V(s)} = \frac{k_t}{(Ls + R)(Js + b) + k_t k_e}
  • 분모가 s의 2차식 → DC 모터는 기본적으로 2차 시스템
  • 전기 쪽 극점과 기계 쪽 극점이 하나씩 있다고 보면 된다

두 개의 시정수 — 전기는 빠르고 기계는 느리다

  • 전기 시정수: \tau_e = L/R — 전류가 차오르는 빠르기 (통상 수 ms 이하)

  • 기계 시정수: \tau_m = \dfrac{JR}{k_t k_e + bR} \approx \dfrac{JR}{k_t k_e} — 속도가 변하는 빠르기 (통상 수십 ms~)

  • 일반적으로 \tau_e \ll \tau_m — 전류는 속도보다 훨씬 빨리 반응

  • 이 사실은 두 가지로 활용된다.

  1. 모델 단순화: 전기 시정수를 무시(L \approx 0)하면 모터는 1차 시스템으로 근사된다
  2. 다단(Cascade) 제어의 근거: 빠른 전류(토크) 루프를 안쪽에, 느린 속도·위치 루프를 바깥에 두는 구조가 자연스럽다 (→ 액추에이터 제어구조 설계)

1차 시스템 근사와 스텝 응답

전기 시정수를 무시한 1차 근사 모델:

\frac{\omega(s)}{V(s)} \approx \frac{K}{\tau_m s + 1}

이때 스텝 전압을 가하면 속도는 지수적으로 상승한다:

\omega(t) = \omega_{final}\left(1 - e^{-t/\tau_m}\right)
시정수의 의미 (단골 출제)

t = \tau_m일 때 최종값의 약 63.2% 에 도달한다. 2\tau에서 86.5%, 3\tau에서 95%, 4\tau에서 약 98%. "시정수 = 63.2% 도달 시간"은 반드시 암기.

마찰 모델 — 현실의 비선형 요소

실제 구동계의 마찰은 세 성분으로 모델링한다.

  • 점성 마찰(Viscous Friction): 속도에 비례 — \tau_v = b\,\omega (선형, 모델에 넣기 쉬움)
  • 쿨롱 마찰(Coulomb Friction): 크기는 일정하고 방향만 운동 반대 — \tau_c \cdot \text{sgn}(\omega)
  • 정지 마찰(Static Friction, Stiction): 움직이기 시작하는 순간까지 버티는 마찰 — 쿨롱보다 크다. 저속·미세 이동 제어를 어렵게 만드는 주범 (스틱-슬립 현상)

기어가 있을 때의 등가 모델

감속비 N의 감속기가 있으면 모터축 기준 등가 관성으로 환산해 하나의 방정식으로 합친다:

J_{eq} = J_m + \frac{J_L}{N^2}

반사 관성의 1/N^2 규칙이 동역학 모델에서도 그대로 쓰인다.

모델은 어디에 쓰는가

  • 제어기 설계: 전달함수가 있어야 PID 게인을 체계적으로 정할 수 있다
  • 시뮬레이션: 실물 없이 소프트웨어로 응답·한계 검증 (MIL/SIL 시뮬레이션)
  • 파라미터 식별(System Identification): 실측 응답(스텝 응답 등)에서 R, k_t, J, b를 역으로 추정해 모델을 현실에 맞춘다
03

📊 다이어그램 · 수식

DC 모터 블록 다이어그램

DIAGRAM
flowchart LR
    V["전압 V(s)"] --> SUM(("＋−"))
    SUM --> ELEC["전기부
1/(Ls+R)"]
    ELEC -- "전류 i" --> KT["kt"]
    KT -- "토크 τ" --> MECH["기계부
1/(Js+b)"]
    MECH -- "속도 ω" --> OUT["ω(s)"]
    MECH -- "속도 ω" --> KE["ke (역기전력)"]
    KE --> SUM

(역기전력이 입력 전압에서 빼지는 음의 피드백 루프가 모터 내부에 이미 존재한다는 점이 구조의 핵심이다.)

핵심 공식 모음

연립 미분방정식:

V = Ri + L\frac{di}{dt} + k_e\omega, \qquad J\frac{d\omega}{dt} + b\omega = k_t i - \tau_{load}

전달함수(2차)와 1차 근사:

\frac{\omega(s)}{V(s)} = \frac{k_t}{(Ls+R)(Js+b) + k_t k_e} \;\;\xrightarrow{L \approx 0}\;\; \frac{K}{\tau_m s + 1}

시정수:

\tau_e = \frac{L}{R} \;(\text{전기}), \qquad \tau_m \approx \frac{JR}{k_t k_e} \;(\text{기계}), \qquad \tau_e \ll \tau_m

스텝 응답: \omega(t) = \omega_{final}(1 - e^{-t/\tau_m}) — t=\tau_m에서 63.2%

04

🎯 핵심 요약 · 암기 포인트

익힘 0 / 10카드를 눌러 뒤집고, 앞면에서 아는지 표시하세요.
Q · 1
DC 모터 동역학 모델을 구성하는 두 방정식은?
A
전기 방정식 V = Ri + L(di/dt) + keω, 기계 방정식 J(dω/dt) + bω = kt·i − τload
Q · 2
전기 방정식과 기계 방정식을 서로 연결하는 두 항은?
A
토크 발생 kt·i (전기→기계)와 역기전력 ke·ω (기계→전기)
Q · 3
전기 시정수와 기계 시정수의 정의는?
A
전기 τe = L/R (전류 반응 속도), 기계 τm ≈ JR/(kt·ke) (속도 반응 속도)
Q · 4
전기 시정수와 기계 시정수의 크기 관계는?
A
τe ≪ τm — 전류는 속도보다 훨씬 빨리 반응한다 (전류 루프를 안쪽에 두는 다단 제어의 근거)
Q · 5
1차 시스템의 스텝 응답에서 시정수 τ가 지날 때 도달률은?
A
최종값의 약 63.2% (2τ에서 86.5%, 3τ에서 95%)
Q · 6
전기 시정수를 무시하면 DC 모터는 몇 차 시스템으로 근사되는가?
A
1차 시스템 (K/(τms+1))
Q · 7
점성 마찰과 쿨롱 마찰의 차이는?
A
점성 마찰은 속도에 비례(bω), 쿨롱 마찰은 크기 일정·방향만 운동 반대
Q · 8
정지 마찰(stiction)이 제어에 미치는 영향은?
A
움직이기 시작할 때까지 버텨 저속·미세 이동에서 스틱-슬립을 일으킨다
Q · 9
DC 모터 블록 다이어그램에 내재된 피드백은?
A
역기전력 keω가 입력 전압에서 빼지는 음의 피드백 루프
Q · 10
동역학 모델의 3대 용도는?
A
제어기 설계(게인 산정), 시뮬레이션 검증, 파라미터 식별의 기준
05

✏️ 예상문제

1. DC 모터의 기계 방정식 J\dot\omega + b\omega = k_t i - \tau_{load}에서 b가 의미하는 것은?

① 관성 모멘트 ② 점성 마찰 계수 ③ 토크 상수 ④ 권선 저항

정답 및 해설

정답: ② b\omega는 속도에 비례하는 점성 마찰 토크다. J는 관성 모멘트, k_t는 토크 상수이고, 권선 저항 R은 전기 방정식에 속한다.

2. DC 모터의 전기 시정수 \tau_e와 기계 시정수 \tau_m의 일반적인 관계와 그 활용으로 옳은 것은?

① \tau_e \gg \tau_m이므로 속도 루프를 안쪽에 둔다 ② \tau_e \ll \tau_m이므로 전류(토크) 루프를 안쪽에 둔다 ③ 두 시정수는 항상 같다 ④ 시정수는 제어 구조와 무관하다

정답 및 해설

정답: ② 전류는 ms 이하로 빠르게, 속도는 수십 ms 이상으로 느리게 반응한다. 빠른 것을 안쪽 루프로, 느린 것을 바깥 루프로 두는 것이 다단(캐스케이드) 제어의 원칙이다.

3. 기계 시정수가 0.2초인 1차 근사 DC 모터에 스텝 전압을 가했다. 0.2초 시점에서 속도는 최종값의 약 몇 %에 도달하는가?

① 50% ② 63.2% ③ 86.5% ④ 95%

정답 및 해설

정답: ② 1차 시스템은 t = \tau에서 1 - e^{-1} \approx 0.632, 즉 63.2%에 도달한다. 2\tau(0.4초)면 86.5%, 3\tau(0.6초)면 95%다.

4. 크기는 일정하고 방향만 운동 방향과 반대로 작용하는 마찰은?

① 점성 마찰 ② 쿨롱 마찰 ③ 공기 저항 ④ 자기 마찰

정답 및 해설

정답: ② 쿨롱 마찰은 \tau_c\,\text{sgn}(\omega)로 표현되는 일정 크기의 건마찰이다. 속도에 비례하는 것은 점성 마찰(b\omega)이다.

5. DC 모터의 전압→속도 블록 다이어그램에 자연적으로 존재하는 음의 피드백 경로는?

① 토크 상수 k_t를 통한 경로 ② 역기전력 k_e\omega가 입력 전압에서 빼지는 경로 ③ 부하 토크가 전류에 더해지는 경로 ④ 인덕턴스를 통한 경로

정답 및 해설

정답: ② 속도가 올라가면 역기전력이 커져 유효 전압(V - k_e\omega)이 줄고 전류·토크가 감소한다. 이 내재된 음의 피드백 덕분에 모터는 제어기 없이도 전압에 대응하는 안정된 속도로 수렴한다.

06

🔗 관련 노트

로봇소프트웨어개발기사 필기 · 학습 교재출제기준 2025.1.1 – 2027.12.31