액추에이터 특성 모델링
📌 개요
- 제어기 설계·시뮬레이션의 전제 = "전압을 이만큼 주면 모터가 어떻게 도는가"를 수식으로 파악
- 이 노트 = DC 모터의 정상상태(정특성) 모델 — 전압·전류·토크·속도의 관계와 토크-속도 특성 곡선
- 시험 빈출: 무부하 속도 \omega_0 = V/k_e와 기동(실속) 토크 \tau_s = k_t V/R 계산, 토크-속도 직선 특성, 스테핑 모터의 특성
📖 핵심 개념
DC 모터의 두 가지 물리 법칙
DC 모터의 동작은 두 개의 간단한 비례 관계로 요약된다.
- 토크 발생: 토크는 전류에 비례 — \tau = k_t\, i (k_t: 토크 상수)
- 역기전력(Back-EMF): 모터가 돌면 발전기처럼 회전 속도에 비례하는 역방향 전압이 생긴다 — e = k_e\, \omega (k_e: 역기전력 상수)
SI 단위(N·m/A와 V·s/rad)로 표현하면 두 상수는 수치가 같다. 에너지 보존에서 유도되는 결과로, 시험 단골 포인트다.
전기 회로 방정식과 정상상태
모터 권선은 저항 R과 인덕턴스 L을 가진 회로이므로:
정상상태(속도·전류가 일정) 에서는 di/dt = 0이므로:
- 이 한 줄이 정특성 분석의 전부
- 인가 전압 V는 "전류를 흘리는 데(Ri)"와 "역기전력을 이기는 데(k_e\omega)"로 나뉘어 쓰인다
토크-속도 특성 곡선 — 우하향 직선
정상상태 식에 i = \tau / k_t를 대입해 정리하면:
-
즉 일정 전압에서 토크와 속도는 우하향 직선 관계
-
직선의 양 끝점이 시험의 핵심
-
무부하 속도(No-load Speed) — 토크 0일 때의 최고 속도:
- 기동/실속 토크(Starting/Stall Torque) — 속도 0일 때의 최대 토크 (역기전력이 없어 전류 최대):
전압을 높이면 직선이 평행이동하여 무부하 속도와 실속 토크가 함께 커진다 — 이것이 전압(PWM)으로 속도를 제어하는 원리다.
출력과 효율
- 기계 출력: P_{out} = \tau\omega — 무부하(\tau=0)와 실속(\omega=0)에서 모두 0이며, 중간 지점에서 최대
- 손실의 대표는 권선 저항의 동손 i^2 R (그 외 철손·마찰손)
- 효율 \eta = P_{out} / P_{in} = \tau\omega / (Vi)
스테핑 모터의 특성
- 스텝각(Step Angle): 펄스 1개당 회전 각도. 예: 1.8° 모터는 한 바퀴에 360/1.8 = 200스텝
- 위치 = 보낸 펄스 수 × 스텝각 → 엔코더 없는 개루프 위치제어
- 홀딩 토크(Holding Torque): 정지 상태에서 여자(전류 인가) 중 버틸 수 있는 최대 토크
- 속도(펄스 주파수)가 높아질수록 낼 수 있는 토크가 감소한다 (풀아웃 토크 곡선) — 인덕턴스 때문에 고속에서 전류가 충분히 차오르지 못하기 때문
- 탈조(Step-out): 부하 토크가 한계를 넘어 펄스를 놓치는 것 — 개루프에서는 감지 불가, 위치 오차가 그대로 남는다
모터별 특성 요약
| 구분 | 브러시 DC | BLDC | 스테핑 |
|---|---|---|---|
| 정류 방식 | 브러시(기계식) | 전자 정류(드라이버) | 펄스 순차 여자 |
| 위치제어 | 엔코더 필요(폐루프) | 엔코더/홀센서 필요 | 개루프 가능 |
| 수명 | 브러시 마모 | 김 | 김 |
| 특징 | 간단·저렴 | 고효율·고출력밀도 | 저속 고토크, 고속 토크 급감·탈조 위험 |
📊 다이어그램 · 수식
정상상태 신호 흐름
flowchart LR
V["인가 전압 V"] --> S["V − ke·ω
(역기전력 차감)"]
S -- "÷R" --> I["전류 i"]
I -- "× kt" --> T["토크 τ"]
T --> W["속도 ω
(부하와 균형점에서 결정)"]
W -- "× ke (역기전력)" --> S토크-속도 특성 직선
전압 V_1 < V_2 < V_3에 대해 같은 기울기의 직선이 평행이동한다. 부하 토크 곡선과의 교점이 운전점(Operating Point) 이다.
계산 예제
V = 24\ \text{V},\ R = 2\ \Omega,\ k_t = k_e = 0.1 (SI)일 때:
🎯 핵심 요약 · 암기 포인트
✏️ 예상문제
1. DC 모터에서 발생 토크와 비례 관계에 있는 것은?
① 전기자 전류 ② 인가 전압 ③ 회전 속도 ④ 권선 인덕턴스
정답 및 해설
정답: ① \tau = k_t i — 토크는 전류에 비례한다. 전압은 전류와 역기전력에 나뉘어 쓰이므로 토크와 직접 비례하지 않는다(속도에 따라 달라짐). 이 관계 때문에 토크 제어는 곧 전류 제어다.
2. 전압 24 V, 권선 저항 2 Ω, k_t = k_e = 0.1 (SI 단위)인 DC 모터의 무부하 속도와 실속(기동) 토크는?
① 240 rad/s, 1.2 N·m ② 120 rad/s, 2.4 N·m ③ 240 rad/s, 2.4 N·m ④ 48 rad/s, 1.2 N·m
정답 및 해설
정답: ① 무부하 속도 \omega_0 = V/k_e = 24/0.1 = 240 rad/s 실속 토크 \tau_s = k_t V/R = 0.1 \times 24/2 = 1.2 N·m
3. 일정 전압을 인가한 DC 모터의 토크-속도 특성으로 옳은 것은?
① 토크가 증가하면 속도도 증가하는 우상향 직선이다 ② 토크와 무관하게 속도가 일정하다 ③ 토크가 증가하면 속도가 감소하는 우하향 직선이다 ④ 포물선 형태다
정답 및 해설
정답: ③ \omega = V/k_e - (R/k_t k_e)\tau — 부하 토크가 커지면 전류가 늘고 Ri 강하가 커져 역기전력(속도)에 쓸 전압이 줄어들기 때문에 속도가 선형으로 떨어진다.
4. 모터가 정지(속도 0) 상태에서 기동할 때 전류가 최대가 되는 이유는?
① 인덕턴스가 0이 되기 때문 ② 역기전력이 0이어서 전압 전체가 저항에 걸리기 때문 ③ 토크 상수가 커지기 때문 ④ 권선 저항이 작아지기 때문
정답 및 해설
정답: ② 역기전력 e = k_e\omega는 속도에 비례하므로 정지 시 0이다. 이때 i = V/R로 최대(기동 전류)가 되며, 그래서 실속 토크가 최대 토크가 된다. 기동 순간의 과전류가 드라이버 설계에서 중요한 이유다.
5. 스테핑 모터에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
① 스텝각 1.8°인 모터는 1회전에 200펄스가 필요하다 ② 펄스 수를 세는 것으로 위치를 알 수 있어 개루프 위치제어가 가능하다 ③ 회전 속도가 높아질수록 낼 수 있는 토크가 증가한다 ④ 부하가 한계를 넘으면 탈조가 발생하고 개루프에서는 이를 감지할 수 없다
정답 및 해설
정답: ③ 스테핑 모터는 속도(펄스 주파수)가 높아질수록 권선 인덕턴스 때문에 전류가 충분히 차오르지 못해 토크가 감소한다(풀아웃 토크 곡선). 고속·중부하 영역에서 탈조가 잘 일어나는 이유다.
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